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单摆回复力(单摆的运动规律探究)

单摆回复力

关键词 单摆 钉挡摆 理论近似 周期
 
规律探究5 伽利略最早发现了吊灯摆动的等时性,1641年,惠更斯据此制作了一个摆钟,并将其简化为单摆模型。单摆是一根很轻的细线系着一个有质量的质点,如图。

 
 
1. 单摆的受力特点。

摆球受到重力和绳子的拉力,一方面做圆弧运动具有向心加速度,另一方面速率改变具有切向加速度。尽管摆球只受两个力,但是两个垂直的分方向合力都不为零,都有加速度,都可根据牛顿第二定律分析。

2. 单摆的速度初探。

绳子的拉力与运动方向垂直,拉力不做功,摆球系统内只有重力做功,机械能守恒。根据机械能守恒或动能定理可求摆球的速度随位置的关系。
进一步可以求出绳子的拉力
特别的,当摆球从水平位置下落到最低点时,
(参见:小球荡秋千)

3. 简谐单摆的周期。
以上分析得到了速度随高度(角度或位置)的变化关系,能否得到速度随时间的关系?
力关于位移x(在足够短的时间内,弦长和弧长相等)呈正弦变化,这是一个非线性关系,一般要利用计算机设计算法(计算物理方法,或工具软件)才能求解。

当摆角很小时(10°左右)有
对于做好的单摆是一个确定的数值。可见,对于小角度的单摆,摆球在切线方向上的合力满足回复力的要求(力的大小与位移成正比,力的方向与位移相反),此时单摆做简谐运动。

根据 弹簧振子的受力和运动特点 中的周期公式可知

通过单位(量纲)分析一下,周期的单位是s,摆长的单位是m,重力加速度g是m/s2,右边l/g是s2开平方刚好是s,结果是合理的。

相关习题1. 对于单摆做振动的回复力,下列各项认识中正确的是( )
A. 回复力是重力和线的拉力的合力
B. 回复力是重力沿着运动圆弧切线方向的分力
C. 在平衡位置处,摆球受到的回复力为零,合力也为零
D. 在平衡位置处,摆球受到线的拉力等于重力
相关习题2.(多选)如图所示为甲、乙两单摆的振动图像,则(   )
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙=1∶2
B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙=1∶4
C.若甲、乙两摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=4∶1
D.若甲、乙两摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=1∶4

相关习题3. 一个单摆的摆长是98.1cm,当地的重力加速度是9.81m/s2,单摆的振动周期是_______。将单摆放到月球上时,周期变为________,若在地球上调好的摆钟,放到月球上摆钟会变______(填“快或慢”)(已知月球上的重力加速度是地球上的0.16倍)

提示:秒摆的周期等于2s,摆球每经过一次平衡位置计时,半个周期计时1s。摆钟的快慢由单摆的频率决定,频率越大单位时间内计数越多,表走的越快。

 
4. 高考链接。
(2019·II卷·34-1)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方3l/4的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正。下列图像中,能描述小球在开始一个周期内的x – t关系的是(    )

解析:这是一个组合单摆模型,可以称作“钉挡摆”。钉子将前半周期和后半周期的运动分开,根据机械能守恒定律摆球越过钉子后将达到同样的高度,同时由经验可知摆角会变大。

由于摆角很小,可以认为小球在碰到钉子前后都做简谐运动。由单摆的周期公式

可知,摆长变为1/4,周期变为一半。即从最右端到平衡位置和平衡位置到最左端的时间之比为2:1,选项B、D错误;根据等高性作出规范的示意图(上图),容易判断摆球在右边的振幅大于左边,两者不相等,选项A正确。

  进一步思考,正确选项A中右左两个振幅之比很像2:1,能证明吗?
如图在△ABC中,

实际上,(参见:数据探究弹簧振子的运动规律)
取二阶小量近似,
由勾股定理解得(根号下忽略θ的四次方)

摆球在右侧的振幅为lθ,可见,摆球在左侧的振幅刚好为右侧的一半。考虑到左侧的摆长为右侧摆长的1/4,因此左侧摆角为右侧摆角的2倍(与经验符合)。至此,选项A的周期和振幅都得到了理解。

5. 微课要点:从单摆的受力分析开始,得到做简谐运动的条件,根据回复力常数导出单摆的周期公式。通过理论近似,不仅理解了回复力,也对2019年理综二卷第34题的正确选项给出了比较彻底的解释。

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