您的位置 首页 知识

平行四边形(平行四边形:为什么学生觉得定理很多,就是不会用?)

平行四边形

最近和老师们在社群交流教学,很多学校正在教《平行四边形》这一章。老师们感慨:

一下学习这么多图形,概念太多,学生都晕了!
搞不清楚性质和判定到底有几条,证明过程就瞎写!
关键是遇到稍微难点的几何问题就不会用,添辅助线的问题就更不用说了!

这背后其实体现了三个问题:
知识技能缺少体系;
学习过程缺少方法;
解决问题缺少策略。
你可能在想,这三个问题可真不是几节课能教会学生的。
没错,但是换一个角度,这些问题也是要在每一章、每一节课里有意识地培养学生的。

今天我就以《平行四边形》这一章为例,介绍解决以上问题的3个心法,帮你在这一章教出更多好课。

01
用“类比学习”建构知识体系

如果短时间之内需要学生掌握很多知识,最好的方法是每一个新知识出现的时候,都尝试和已有知识建立联系,这样能帮助学生减小认知负担,形成更自然的逻辑联系。

类比就是最常用的方法之一。

我们知道矩形和菱形是有很多可以比较的地方的。那么,怎么通过类比教学帮学生形成更完整的知识体系呢?

我们可以先回顾矩形的一些知识,从定义到性质,比如同时展示以下两个图:

我们可以通过一边盘点矩形的知识,一边问学生菱形对应的结论可能是什么:

矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,菱形呢?
矩形是平行四边形特殊了一个角,菱形呢?
矩形的四个角都相等,菱形呢?
矩形的对角线有特殊的数量关系,菱形呢?
矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形,菱形呢?
矩形的中点四边形是菱形,菱形呢?

这样做,不仅能将原本两组知识整合成一个体系,还能通过比较加深对知识的理解,赋予更多的意义,完成对知识的再认识。

比如,矩形和菱形的对角线各有一个特殊的性质,它们分别体现在特殊的数量关系(相等)和特殊的位置关系(垂直)上。

这样学生就形成了一个更大更完整的知识:特殊平行四边形的对角线有特殊的关系。

除了类比,从一般到特殊也是建构知识体系的一个视角,但由于有先后顺序的关系,我放到下面的研究方法里一并讨论。

02
用研究方法串联学习过程

除了概念、性质、判定这些知识技能以外,数学思考也是重要的数学知识。
思考什么呢?
就是有关“我们是如何学习xx的”这样的过程性的知识,这些知识也被称为“过程与方法”。

平行四边形属于“图形的性质”,如何研究图形的性质,是贯穿整个初中三年的话题,也是学生应该带走的研究方法。

等腰三角形、平行四边形、圆都是典型的能够体现图形研究方法的案例。
那么,这个研究方法包含哪些内容呢?

我们分别来聊聊“研究什么”和“怎么研究”。

研究的主要内容自然就是图形的性质了。那什么是性质呢?

性质就是图形组成元素之间的关系。
这里有两个概念:“组成元素”和“关系”。

组成元素包括两类:一类是看得见的基本元素,比如边、角;另一类是看不见的相关元素,比如三角形的高、四边形的对角线等等。

关系也包括两类:一类是位置关系,比如垂直、平行等;另一类是数量关系,比如相等、倍分等。

现在你应该清楚我们在研究什么了,接下来我们再来说一说怎么研究。

有三个维度。

(1)第一个维度是从一般到特殊

我们之前有这样的研究经验:
先研究相交线,再研究平行线;
先研究等腰三角形,再研究等边三角形;
这一章,先研究平行四边形,再研究矩形、菱形、正方形。

这里多提一句正方形的特殊性。
正方形的性质是矩形和菱形性质的总和。正方形的特殊性并没有带来除了矩形、菱形以外的性质,所以不用把正方形当作一个单独的新图形去研究。

正方形与矩形、菱形的关系比正方形的定义和性质更重要。

(2)第二个维度是从猜想到证明

从观察到猜想实际上是一种归纳推理,得到的结论是不一定正确的;
证明是一种演绎推理,重要的性质都要经过证明,结论才可以作为定理,纳入公理化体系。
这也正是数学作为形式科学能够做到“永远正确”的独特性所在。

(3)第三个维度是从整体到部分

我们通过观察描述图形的整体特征,然后用图形的部分元素来描述这个特征。

比如,等腰三角形看上去是轴对称的,怎么描述这个轴对称性呢?对折后两腰重合了,所以它们相等。
平行四边形看上去也是一种对称,怎么描述这种对称呢?我们发现绕着一个点旋转到一定位置时,它和原来的图形重合了,两组对边各自替换了对方的位置,所以它们相等。

说了这么多,我们可以将研究图形性质的一般方法总结为三句话:
通过观察认识图形整体特征;
通过猜想得出元素之间关系;
通过证明验证猜想有一般性。

03
用分类专题归纳解题策略

前面我们讨论了如何更好地获得知识,下面我们聊一聊如何更好地应用知识。

在这一章,学生将学习很多能够证明线段相等和倍分的工具,这对于“看见要证线段相等就用全等”的学生是一个很大的挑战。

在正方形这里,证明线段相等的变化更是达到了极致,如果老师不能梳理出一些主线脉络,学生自然会显得“不会用”。

怎么解决这个问题呢?

老师要将问题归一归类,有目的地以题组方式呈现,不要看见一道觉得不错的题,就拿去难为学生,然后花半个小时讲完以后一测,发现原来不会的还是不会。

为什么会出现这种情况呢?

因为老师没有设计学生的节奏。

你可以选择一些有代表性的问题,按照某个特征归纳成若干个专题,不求全,但要有逻辑、成体系。

以“在正方形中构造全等”为例,我们试着归纳一些构造全等的方法——

有在图形内构造的:

有在图形外构造的:

还有一类是构造旋转型全等:

这类问题有一个模型,那就是借助正方形的一组相等的邻边和90°夹角构造全等三角形。

构造全等是几何问题中比较难的一类问题,它需要学生创造条件。
如果学生缺少经验,老师可以从更简单的图形入手,先发展学生的识图能力:

比如图1,我们可以问学生:
△AOE和△BOF在位置上有什么特征?
它们有哪些相等的对应边和对应角,是由正方形提供的?

再比如图2,我们可以问学生:
3和4组成的这个三角形和1这个三角形全等吗?
切割线应该满足什么条件?

哦,对了,这张图就是教材中的,老师们在四处找题的时候,别忽略一件事:最好的素材往往就在教材中。
结语

好了,我们总结一下今天的知识。

学生在学习过程中经常会有知识技能缺少体系、学习过程缺少方法、解决问题缺少策略的问题。

我们可以用三个心法来解决:用类比学习建构知识体系,用研究方法串联学习过程,用分类专题归纳解题策略。

怎么类比教学呢?
盘点旧知识,验证新知识,建构新体系,完成再认识。

怎么研究图形呢?
通过观察认识图形整体特征,通过猜想得出元素之间关系,通过证明验证猜想有一般性。

怎么归纳题型呢?
选定一个目的,设计几种策略,识别基本图形,总结一类模型。

现在,你知道为什么学生觉得定理很多,就是不会用了吗?

“多”和“不会用”是相关的,不要让“多”乱了阵脚。采用分类、归纳的策略。
分而治之,才能格物致知。
-END-
作者|马宁
编辑排版|洋葱君

往期精彩推荐

1.“二元一次方程组”教学揭秘:为什么引入方程组?这样讲学生理解更透彻!(附学案)

2.四年发展为“全国网络学习空间优秀学校”:智能课堂教学解决方案助力未来学校建设

3.勾股定理问题(上):搞不懂这3种题型,小心学生考试吃大亏!(附完整学案)

老师,点一下“在看”再走呗?
点击阅读原文,立即报名成为洋葱HOPE卓越导师

平行四边形相关文章

为您推荐

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注

返回顶部